目录
实对称矩阵定义
实反对称矩阵定义
厄米特矩阵定义
反厄米特矩阵定义
正交矩阵定义性质
酉矩阵（幺正矩阵）定义性质
正规矩阵定义性质
正定矩阵定义性质充要条件
友矩阵（伴侣矩阵）定义性质
旋转矩阵定义性质
对比
实对称矩阵
定义
A
T
=
A
A^T=A
AT=A
实反对称矩阵
定义
A
T
=
−
A
A^T=-A
AT=−A
厄米特矩阵
定义
A
H
=
A
A^H=A
AH=A
反厄米特矩阵
定义
A
H
=
−
A
A^H=-A
AH=−A
正交矩阵
定义
A
T
A
=
A
A
T
=
I
A^TA=AA^T=I
ATA=AAT=I
换言之，当
A
T
=
A
−
1
A^T=A^{-1}
AT=A−1时，
A
A
A被称为正交矩阵
性质
A
T
=
A
−
1
A^T=A^{-1}
AT=A−1
酉矩阵（幺正矩阵）
定义
A
A
H
=
A
H
A
=
I
AA^H=A^HA=I
AAH=AHA=I
其中，
A
H
A^H
AH表示共轭转置换言之，当
A
H
=
A
−
1
A^H=A^{-1}
AH=A−1时，
A
A
A被称为酉矩阵
性质
A
H
=
A
−
1
A^H=A^{-1}
AH=A−1酉矩阵的特征值都是模为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，所以
∣
d
e
t
(
A
)
∣
=
1
|det(A)|=1
∣det(A)∣=1A的列向量构成内积空间C上的一组标准正交基A的行向量构成内积空间C上的一组标准正交基酉矩阵是正规矩阵
正规矩阵
定义
A
H
A
=
A
A
H
A^HA=AA^H
AHA=AAH
性质
对角矩阵、（反）实对称矩阵、（反）厄米特矩阵、正交矩阵、酉矩阵都是正规矩阵；当
A
A
A的全部特征值为实数时，是厄米特矩阵；当
A
A
A的全部特征值为零或虚数时，是反厄米特矩阵；当
A
A
A的全部特征值的模为1时，是酉矩阵；
A
A
A为正规矩阵的充要条件：存在酉矩阵
Q
Q
Q，使得
A
A
A酉相似于对角矩阵；与正规矩阵
A
A
A有相似的矩阵都是正规矩阵；正规矩阵
A
n
×
n
A_{n \times n}
An×n必有
n
n
n个线性无关的特征向量；正规矩阵
A
A
A的不同特征值的特征子空间是互相正交的。
正定矩阵
定义
对于
n
n
n阶方阵
A
A
A，若对于任何非零向量
x
x
x，都有
x
T
A
x
>
0
x^TAx>0
xTAx>0，则
A
A
A为正定矩阵。
性质
行列式恒为正；实对称矩阵
A
A
A正定当且仅当
A
A
A与单位矩阵合同；若
A
A
A是正定矩阵，则
A
A
A的逆矩阵也是正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵；
充要条件
A
A
A的特征值均为正；存在可逆矩阵
P
P
P，使得
A
=
P
T
P
A=P^TP
A=PTP，即
A
A
A与
I
I
I合同；
A
A
A的顺序主子式均大于零；
A
A
A的正惯性指数为
n
n
n；
友矩阵（伴侣矩阵）
定义
A
=
[
0
0
⋯
0
−
a
0
1
0
⋯
0
−
a
1
0
1
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
0
−
a
n
−
2
0
0
⋯
1
−
a
n
−
1
]
A=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{matrix} \right]
A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡010⋮0001⋮0⋯⋯⋱⋱⋯00⋮01−a0−a1⋮−an−2−an−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
主对角线上方或者下方的元素均为1，主对角线元素为零；最后一行或第一行的元素可取任意值；而其余元素均为零;
性质
方阵的有理标准形就是由友矩阵块构成的分块对角矩阵，而有理标准形在应用上以及理论推导中，都有较大的作用；
旋转矩阵
定义
A
=
[
1
⋱
1
c
o
s
θ
s
i
n
θ
1
⋱
1
s
i
n
θ
c
o
s
θ
1
⋱
1
]
A=\left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & & \\ & & & cos\theta & & & & sin\theta \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ & & & sin\theta & & & & cos\theta \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{matrix} \right]
A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1cosθsinθ1⋱1sinθcosθ1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
A
(
p
,
p
)
=
A
(
q
,
q
)
=
c
o
s
θ
A(p,p) = A(q,q) = cos\theta
A(p,p)=A(q,q)=cosθ，
A
(
p
,
q
)
=
A
(
q
,
p
)
=
s
i
n
θ
A(p,q) = A(q,p) = sin\theta
A(p,q)=A(q,p)=sinθ，主对角线为1，其他位置均为0；对于矩阵
X
X
X，左乘
A
T
A^T
AT，则第
p
p
p行和第
q
q
q行发生改变；对于矩阵
X
X
X，右乘
A
A
A，则第
p
p
p列和第
q
q
q列发生改变；
性质
A
A
A为正交矩阵；两个向量被同一个旋转矩阵操作之后，内积保持不变
对比
定义实对称矩阵
A
T
=
A
A^T=A
AT=A反实对称矩阵
A
T
=
−
A
A^T=-A
AT=−A厄米特矩阵
A
H
=
A
A^H=A
AH=A反厄米特矩阵
A
H
=
−
A
A^H=-A
AH=−A正交矩阵
A
A
T
=
A
T
A
=
I
AA^T=A^TA=I
AAT=ATA=I酉矩阵（幺正矩阵）
A
A
H
=
A
H
A
=
I
AA^H=A^HA=I
AAH=AHA=I正规矩阵
A
A
H
=
A
H
A
AA^H=A^HA
AAH=AHA正定矩阵
∀
x
,
x
T
A
x
>
0
\forall x,x^TAx>0
∀x,xTAx>0友矩阵（伴侣矩阵）
A
=
[
0
0
⋯
0
−
a
0
1
0
⋯
0
−
a
1
0
1
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
0
−
a
n
−
2
0
0
⋯
1
−
a
n
−
1
]
A=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{matrix} \right]
A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡010⋮0001⋮0⋯⋯⋱⋱⋯00⋮01−a0−a1⋮−an−2−an−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤旋转矩阵
A
=
[
1
⋱
1
c
o
s
θ
s
i
n
θ
1
⋱
1
s
i
n
θ
c
o
s
θ
1
⋱
1
]
A=\left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & & \\ & & & cos\theta & & & & sin\theta \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ & & & sin\theta & & & & cos\theta \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{matrix} \right]
A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1cosθsinθ1⋱1sinθcosθ1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤